傅立叶变换午夜电影地址，这个被正常利用于科学、工程和数学的纷乱用具，频繁被相识为一种从时域到频域的调治机制。但要简直掌执它，咱们需要进一步剖析其背后的数学道理。

令f为一个由R到R的函数。在典型情况下对于f并莫得什么可说的，然而有些函数具有有用的对称性质。举例，若对于每一个x都有f(-x)=f(x)，就说f是一个偶函数，而若对每一个x有f(-x)=-f(x)，就说f是一个奇函数。进一步说，每一个函数都不错写成一个偶函数f_e（称为f的偶部）和一个奇函数f_o（称为f的奇部）的相通。举例，函数

r级书屋狂师

图片

既不是偶的，也不是奇的，然而，它不错写成

图片

其中

图片

图片

对于一般的函数f，这种分解是独一的，而由公式

图片

和

图片

给出。

偶函数和奇函数有什么样的对称性呢？底下是一个对待它们的有用的挨次。有一个由实数轴上的两个变换组成的群：一个变换是恒等变换：

图片

另一个是反射：

图片

实轴上的淘气变换Φ都会开拓出界说在实轴上的函数的变换如下：给定一个界说在实轴上的函数f，变换后的函数等于g(x)=f(Φ(z))。对于面前的情况，若

图片

则变换后的函数是等于f(x)自己，而若Φ=p，则得回f(-x)。若f是偶函数或奇函数，则变换后的函数是原本函数f的标量倍数。稀奇是若Φ=p，则当f为偶函数时，变换后的函数仍为f(x)，而作为倍数的标量是1；当f为奇函数时，则变换后的函数是-f(x)而这个标量是-1。

上头描画的经过不错看作是傅里叶变换的一般见地的很浅易的原型。绝顶正常地讲，一个傅里叶变换等于一种把绝顶“一般”的函数分解为“对称”函数的相通的系统挨次。这些对称的函数频繁都是显式界说的，举例，最蹙迫的等于分解为三角函数 sin(nx)和cos(nx) 的线性组合，它们也频频与频率和能量这些物理见地干系。对称性一般是与一个群G联贯洽的，这个群又频繁是阿贝尔群（在上头的例子中，它是一个含两个元素的群）。

阿贝尔群的特色在于，它得志交换律，也等于说，不管怎么调换元素的运算轨则，运算收尾都是相易的。

说果真，傅里叶变换是商量群的表面，准确一些说是商量群暗示表面的基本用具，这个表面存眷的等于一个群不错怎么在不同神气下行为是对称群。傅里叶变换也与线性代数的一些主题干系，举例，向量之暗示为程序正交基底的线性组合，大致暗示为一个矩阵或线性算子的本征向量的线性组合。

当今来看一个相比复杂的例子。固定一个正整数n，咱们要给出一个把由C到C的函数，即复平面上的复函数加以分解的系统挨次。若f是这么一个函数，而j是介于0到n-1间的整数，咱们说f是一个j阶谐振子，淌若它有以下的性质：

图片

即若ω是1的一个n阶本原单元根：

图片

这时，对于淘气的复数z∈C，有

图片

厚爱，若n=2，则ω=-1，是以若j=0就会回到偶函数的界说，而若j=1，就回到奇函数的界说。事实上，受到这件事的启发，就会得回把f分解为谐振子的一般公式，而这种张开亦然独一的。其作法如下：若界说

图片

则证据注解对于淘气复数z∈C有

图片

仅仅一个浅易的习题，况兼还有

图片

这么，f不错分解为谐振子之和。这等于一个傅里叶变换，而与它联贯洽的群等于n阶单元原根：

图片

即n阶轮回群。

图片

当今商量无限群。令f为界说在单元圆周T上的一个复函数。为了幸免一些手艺上的问题，假定f为光滑的，即无限可微的。淌若f是一个形式浅易的函数

图片

n是一个整数，而c是一个常数，则f有n阶的旋转对称性。即是说，若再令

图片

则对于淘气复数z∈C，f(ωz)=f(z)。从前边的例子看到，并不讴颂，淘气光滑函数f都不错暗示为这种旋转对称函数的相通。事实上，有

图片

数

图片

称为f在频率为n处的傅里叶所有，而由下式给出：

图片

这个公式不错看作是上头fj(z)的公式，当z限制在单元圆周上且n趋于无限时的极限。它也不错看作是全纯函数的泰勒级数的履行：若f在闭单元圆盘上是全纯的，则有

图片

而泰勒所有an由下式给出

图片

一般说来，傅里叶分析与复分析有很考究的接洽。

全纯函数（又称认识函数或正规函数）是复分析中的基本见地。它是在复数域上界说并得志某些秉性的函数。

给定复变量 z，淌若函数 f(z) 在其界说域内的每少量都存在复导数，那么这个函数就称为全纯函数。浅易地说，全纯函数等于在其界说域内处处可微的复函数。

淌若f是光滑的，则其傅里叶所有衰减于0绝顶快，而很容易证据注解其傅里叶级数

图片

然而，淌若f不是光滑的（举例仅仅贯串的），问题就微妙多了，这时必须仔细详情这个级数不停的确切的道理。骨子上斡旋分析的相当一部分等于在究诘这一类问题，以及措置这类问题所需的用具。

与傅里叶分析的这种讲法干系的群是圆周的群T。厚爱，咱们既把数

图片

行为圆周上的少量，又把它行为旋转一个角θ。这么，这个圆周和它的旋转对称群不错等同起来。然而还有第二个群在这里也很蹙迫，即通盘整数所成的加法群Z。淌若取两个基本的对称函数z^m和z^n并把它们乘起来，就会得回z^（m+n），是以映射

图片

等于由Z到这些函数在乘法下所成的群的同构。群Z就称为T的庞特里亚金对偶。

在偏微分方程以及斡旋分析的干系界限里，最蹙迫的傅里叶变换是界说在欧几里得空间R^d上的。在通盘的函数

图片

取平面波：

图片

为“基本的”函数，这里ξ∈R^d是一个向量（称为平面波的频率），x·ξ是位置向量x和频率向量ξ的数量积，

图片

厚爱，形如

图片

是正交于向量ξ的（超）平面，在每一个这么的靠拢上，平面波f(x)取常数值，而f在H_λ上的值与在H_λ+2π上的值相易。平面波一词即由此而来。不错证据注解，若f相当“好”(举例是光滑的，况兼当x变大时衰减到0相当快)，它就不错独一地暗示为平面波的相通，不外这里的“相通”要用一个积分而不是乞降来暗示。更确切地说，有

图片

其中

图片

图片

而前一个公式则称为逆傅里叶变换公式。这两个公式告诉咱们怎么从原本的函数求出其傅里叶变换，以及违犯。咱们不错把

图片

不错证据注解，当f相当“好”的时代，论证这些积分的不停性毫无贫乏，关联词当f相比粗莽大致衰减得不太快的时代，这些问题又变得很微妙，在R^d上的傅里叶变换的情况下，干系的群是欧几里得群R^d

图片

还要厚爱，当今位置x和频率ξ都含于R^d内，是以R^d在这个配景下，恰是我方的庞特里亚金对偶。

傅里叶变换的一大用途是用它来相识作用在函数上的各式算子，举例，R^d上的拉普拉斯算子，给定一个函数f:R^d→C，拉普拉斯算子△f的界说是

图片

这里把向量x写要素量形式，而把f行为d个实变量的函数：

图片

为了幸免手艺细节，只商量那些豪阔光滑使得上式有道理而不产生贫乏的情况。一般说来，一个函数f和它的拉普拉斯算子△f之间并无显着的关系。然而，若f是平面波

图片

则二者有显着的关系：

图片

等于说拉普拉斯算子作用在平面波上的后果等于把它乘以标量：

图片

换句话说，

图片

（一般说来，平面波将是淘气与平行出动可交换的线性算子的本征函数）。是以，透过傅里叶变换的棱镜来看拉普拉斯算子是很浅易的：傅里叶变换使咱们能把淘气的函数写成平面波的相通，而拉普拉斯算子在每一个平面波上的后果又很浅易，证据晰少量，等于

图片

此式给出了拉普拉斯算子作用在一般函数上的公式。在这里交换了拉普拉斯算子与积分的治安，对于允洽好的函数，这是不错严格论证的，然而咱们略去细节。

这个公式把△f暗示为平面波的相通。此外，逆傅里叶变换的公式又告诉咱们

图片

然而，一个函数暗示为平面波的相通的挨次是独一的，是以

图片

这一个事实诚然也不错由傅里叶变换的界说获胜导出，这个恒等式证据，傅里叶变换把拉普拉斯算子对角化，等于说，从傅里叶变换看来，对某个函数施加拉普拉斯算子，无非等于把这个函数的傅里叶变换F(ξ)乘以乘子

图片

图片

换言之，拉普拉斯算子不错行为一个傅里叶乘子。这句话的真谛是，淌若想要策画拉普拉斯算子对于一个函数的作用，不错先取这个函数的傅里叶变换，乘上乘子，再取逆傅里叶变换。这个不雅点使得拉普拉斯算子的操作变得很容易。举例，不错迭次使用这个公式来策画拉普拉斯算子的各次幂：

图片

事实上，当今还是不错界说拉普拉斯算子的愈加一般的函数。举例，不错取拉普拉斯算子的平方根如下：

图片

这就会指令到分数阶微分算子表面，还有更一般的函数演算表面，在其中，咱们从某一个算子（如拉普拉斯算子）运转，然后商量这个算子的各式函数，举例平方根、指数、倒数，等等。

正如上头的究诘所标明的那样，傅里叶变换不错用来发展很多道理的运算，而这对于微分方程表面有稀奇的蹙迫性。为了有用地分析这些运算，需要傅里叶变换的各样谋略。举例，了解一个函数f的用某种范数暗示的大小，与其傅立叶变换的可能用其他范数来暗示的大小的关系，这频频是蹙迫的。对于这少量的进一步究诘可见条件函数空间。这种类型的谋略中稀奇蹙迫而又惊东说念主的是普兰舍利公式

图片

它标明，一个函数的傅里叶变换的L₂范数与原本函数的L₂范数未必相配。是以，傅里叶变换是一个酉变换，因此不错把一个函数的频率空间暗示行为是它的物理空间暗示的某种道理的旋转。

在线性代数中，一个酉变换（Unitary Transformation）是一个保持向量内积不变的线性变换，也等于说，淌若你有两个向量，在变换前后，它们的内积保持不变。

发展与傅里叶变换以及干系算子的进一步的谋略是斡旋分析的很大一个部分。普兰舍利恒等式的一个变体的傅里叶变换的卷积公式

图片

这个公式使咱们能用两个函数f和g的傅里叶变换来分析它们的卷积

图片

稀奇是，若f或g的傅里叶变换很小，则咱们不错欲望它们的卷积f*g也很小。这个关系意味着傅里叶变换限定了一个函数和它我方以及和其他函数的某些干系性，这就使得傅里叶变换成了商量立地性以及概率表面、斡旋分析和数论中的其他对象的均匀散布性质的蹙迫用具。举例，咱们不错跟从这个念念想来确立中心极限制理，这个定理标明很多孤并立地变量的和最终会像是一个高斯散布；咱们以致不错用这个挨次来证据注解维诺格拉多夫定：淘气充分大的奇数都是三个素数之和。

以上这些念念想不错在多个方进取履行。举例，不错用相比一般的算子代替拉普拉斯算子，用这个算子的（广义）本征函数代替平面波，这么就得回谱的表面和函数演算。也能详尽地商量傅里叶乘子的代数，这就指令到C'-代数。还不错越出线性算子表面来商量双线性、多线性以致都备非线性算子，这稀奇会指令到仿积的表面。仿积是点态乘积运算(f(x)，g(x))→fg(x)的履行，它在微分方程中有蹙迫性。

在另一个方进取，也能用更一般的群来代替R^d，这时，平面波的见地就会被群特征标见地（在阿贝尔群的情况）取代，大致被群的暗示（在非阿贝尔群的情况）所取代。傅里叶变换还有其他变体，如拉普拉斯变换、梅林变换，它们在代数上很像傅里叶变换，况兼作用也相通（举例，拉普拉斯变换在微分方程上所起的作用）。咱们还是看到傅里叶变换与泰勒级数干系，它还与其他蹙迫的级数张开式有接洽，需要提到的有狄利克雷级数，以及函数按畸形多项式的级数张开，举例，按正交多项式或球面斡旋的张开式。

傅里叶变换是把函数分红很多要素，而每一个要素未必有一个准确的频率。但在有些利用中午夜电影地址，袭取一种相比“粗率”的道路更为有用。这时，函数被分解成的要素数量要少一些，然而每一个要素所含的频率组成一个频段，而不是单个频率。这么一种分解有一个上风，等于受到不祥情味道理的限制较少，因为按照不祥情味道理，一个函数偏激傅里叶变换不成能同期局限在R4的很小的区域里。这么会导致傅里叶变换的某些变体，如小波变换，它对很多利用数学和策画数知识题更为允洽，也对某些斡旋分析和微分方程的问题更为允洽。对于量子力学起基本作用的不祥情味道理也把傅里叶变换与数学物理接洽起来，稀奇是经典物理和量子物理的接洽，不错通过几何量子化和微局部分析的挨次作严格的商量。

本站仅提供存储处事，通盘内容均由用户发布，如发现存害或侵权内容，请点击举报。